Question

（2010•海门市二模）如图，过点P（2，）作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线（x＞0）于点N，作PM⊥AN交双曲线（x＞0）于点M，连接AM．已知PN=4．
（1）求k的值；
（2）设直线MN解析式为y=ax+b，求不等式≥ax+b的解集；
（3）试判断△AMN的形状？并说明理由．

Answer

（1）由点P的坐标为（2，）得AP=2，又PN=4可得AN=6，即点N的坐标为（6，），把N（6，）代入y=中，得k=．
（2）点P的坐标为（2，）得点M的横坐标为2，又点N的坐标为（6，），再根据图象可得0＜x≤2或x≥6．
（3）由点M的坐标为（2，）和点P的坐标为（2，）得PM=．又PM⊥AN，AP=2，PN=4可得AM2+MN2=AN2，故△AMN是直角三角形．
【解析】
（1）∵点P的坐标为（2，），
∴AP=2，OA=．（1分）
∵PN=4，∴AN=6，
∴点N的坐标为（6，）．（2分）
把N（6，）代入y=中，得k=．（3分）

（2）∵点P的坐标为（2，），
∴点M的横坐标为2，
又∵点N的坐标为（6，），
∴0＜x≤2或x≥6．（5分）

（3）∵点M的横坐标为2，双曲线为，
∴点M的坐标为（2，），
∴PM=．（6分）
∵PM⊥AN，AP=2，PN=4，
∴AM2=12，MN2=24，AN2=36，（7分）
∴AM2+MN2=AN2，
∴∠AMN=90°，即△AMN是直角三角形．（8分）