Question

（2010•通州区一模）如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆交AD于F，交BC于G，延长BA交圆于E．
（1）若ED与⊙A相切，试判断GD与⊙A的位置关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件不变的情况下，若GC=CD=5，求AD的长．

Answer

（1）首先得出结论，然后证明，连接AG，由角的等量关系可以证出∠1=∠2，然后证明△AED≌△AGD得到∠AGD=90°，
（2）由（1）知AG⊥GD，根据角间的等量关系，解出∠6，算出AD．
结论：GD与⊙O相切，（1分）
证明：连接AG，

∵点G、E在圆上，
∴AG=AE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠B=∠1，∠2=∠3．
∵AB=AG，
∴∠B=∠3．
∴∠1=∠2．（2分）
在△AED和△AGD
，
∴△AED≌△AGD．
∴∠AED=∠AGD．（3分）
∵ED与⊙A相切，
∴∠AED=90°．
∴∠AGD=90°．
∴AG⊥DG．
∴GD与⊙A相切．（4分）

（2）∵GC=CD=5，四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，∠4=∠5，AB=AG=5．（5分）
∵AD∥BC，
∴∠4=∠6．
∴∠5=∠6=∠B．
∴∠2=2∠6．
∴∠6=30°．
∴AD=10．（6分）