Question

（2010•通州区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B左侧）．与y轴交于点C，顶点为D，直线CD与x轴交于点E．
（1）请你画出此抛物线，并求A、B、C、D四点的坐标；
（2）将直线CD向左平移两个单位，与抛物线交于点F（不与A、B两点重合），请你求出F点坐标；
（3）在点B、点F之间的抛物线上有一点P，使△PBF的面积最大，求此时P点坐标及△PBF的最大面积；
（4）若平行于x轴的直线与抛物线交于G、H两点，以GH为直径的圆与x轴相切，求该圆半径．

Answer

（1）抛物线的解析式中，令x=0，可求得点C的坐标，令y=0，可求得A、B的坐标；利用配方法将抛物线的解析式化为顶点坐标式，即可求得顶点D的坐标．
（2）易求得直线CD的解析式，利用左加右减的平移规律，可得到平移后的直线解析式，联立抛物线的解析式，即可求得点F的坐标．
（3）过P作PM∥y轴交直线BF（题2平移后的直线）于M，设出点P的横坐标，根据抛物线和直线的解析式，可求得P、M的纵坐标，从而得到PM的长，以PM为底、B、F的横坐标差的绝对值为高，即可求得△BFP的面积表达式（也可由△BMP、△FMP的面积和求得），也就得到了关于△BFP的面积和P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出△BFP的最大面积及对应的P点坐标．（也可先求得PM的最大值，然后再求出此时△BFP的最大面积）
（4）若易G、H的圆与x轴相切，那么G、H纵坐标的绝对值等于圆的半径，且圆心在抛物线的对称轴上，可用圆的半径分别表示出G、H的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得该圆的半径．（需要注意的是，在表示G、H的坐标时，要分圆心在x轴上、下方两种情况讨论．）
【解析】
（1）抛物线y=x2+2x-3中，x=0，则y=-3；y=0，则x=1或-3；
∴A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）；
∵y=x2+2x-3=（x+1）2-4，
∴D（-1，-4）；
故A（-3，0），B（1，0），C（0，-3），D（-1，-4）．（2分）

（2）∵C（0，-3），D（-1，-4），
∴直线CD：y=x-3；
将直线CD向左平移两个单位，得：
y=（x+2）-3=x-1，
此时直线经过点B（1，0）；
联立抛物线的解析式有：
，
解得，；
∴F（-2，-3）．（3分）

（3）过点P作y轴的平行线与BF交于点M，与x轴交于点H．
易得F（-2，-3），直线BF解析式为y=x-1．
设P（x，x2+2x-3），则M（x，x-1），（4分）
∴PM=-x2-x+2=-（x+）2+；
PM的最大值是，此时x=-，
当PM取最大值时△PBF的面积最大，
S△PBF=S△PFM+S△PEM=，
△PFB的面积的最大值为，P点坐标为：（-，-）．

（4）如图，①当直线GH在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），则H（R-1，R），
代入抛物线的表达式，
解得；（7分）
②当直线GH在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），
则H（r-1，-r），
代入抛物线的表达式，
解得
∴圆的半径为或．（8分）