Question

如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等腰三角形，OB=AB，∠OBA=120°，点B的坐标是（0，4），点A在第一象限．点R是x轴上的一个动点，连接BR，并把△BOR绕着点B按逆时针方向旋转，使边BO与BA重合，得到△BAQ．
（1）求点A的坐标；
（2）当点R运动到点（，0）时，求此时点Q的坐标；
（3）当点Q落在x轴上时，请直接写出点R的坐标；
（4）是否存在点R，使△ORQ的面积等于？若存在，请求出所有符合条件的点R的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）过A点作x轴、y轴的垂线AE、AF，解直角三角形求AE、AF即可．
（2）过点Q作AE的垂线交EA的延长线于点H，交y轴于点N．依题意得∠BAE=60°，∠QAH=30°．解Rt△AHQ得AH、QH，再利用A点的坐标求QN，HE，即为Q点的横、纵坐标；
（3）此时点R在x轴的负半轴，∠OBQ=60°，则∠RBO=60°，已知OB=4，解Rt△OBR可求OR，再表示R点的坐标；
（4）设点R的坐标为（t，0），根据t＞0，-4≤t≤0，t＜-4，分别求解．
【解析】
（1）如图1，过点A作AE⊥x轴于点E，作AF⊥y轴于点F，

则AF=AB•sin∠ABF=，
BF=AB•cos∠ABF=2，
∴AE=OF=4+2=6，
∴点A的坐标为（，6）．

（2）如图2，

∵△BAQ由△BOR旋转得到，∴△BAQ≌△BOR．
∴AQ=OR=，∠BAQ=∠BOR=90°．
过点Q作AE的垂线交EA的延长线于点H，交y轴于点N，
则∠BAE=60°，∠QAH=30°．
在Rt△AHQ中，AH=AQ•cos30°=1，QH=AQ•sin30°=．
∴QN=，HE=6+1=7．
∴点Q的坐标为（，7）．
（3）此时点R在x轴的负半轴，
∠OBQ=60°，则∠RBO=60°，
已知OB=4，
在Rt△OBR中：OR=4，
∴点R（，0）．
（4）假设存在点R，在它的运动过程中，使△ORQ的面积等于．设点R的坐标为（t，0），下面分三种情况讨论．
①当t＞0时，如图3，

AQ=OR=t，AH=，HE=，

∴

解得，（舍去）．

②当时，如图4，

AQ=OR=-t，AH=，HE=．
∴
解得，．
③当时，如图5，

AQ=OR=-t，AH=，HE=．
∴
解得（舍去），．
∴符合条件的点R的坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．