Question

（2009•天津）已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．
（Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；
（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；
（Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B″，且使B″D∥OB，求此时点C的坐标．

Answer

（Ⅰ）因为折叠后点B与点A重合，那么BC=AC，可先设出C点的坐标，然后表示出BC，AC，在直角三角形OCA中，根据勾股定理即可求出C点的纵坐标，也就求出了C点的坐标；
（Ⅱ）方法同（Ⅰ）用OC表示出BC，B′C然后在直角三角形OB′C中根据勾股定理得出x，y的关系式．由于B′在OA上，因此有0≤x≤2，由此可求出y的取值范围；
（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的思路，应该先得出OB″，OC的关系，知道OA，OB的值，那么可以通过证Rt△COB″∽Rt△BOA来实现．∠B″CO和∠CB″D是平行线B″D，OB的内错角，又因为∠OBA=∠CB″D，因此∠B″CO=∠OBA，即CB″∥BA，由此可得出两三角形相似，得出OC，OB″的比例关系，然后根据（1）（2）的思路，在直角三角形OB″C中求出OC的值，也就求出C点的坐标了．
【解析】
（Ⅰ）如图①，折叠后点B与点A重合，则△ACD≌△BCD．
设点C的坐标为（0，m）（m＞0），则BC=OB-OC=4-m．
∴AC=BC=4-m．
在Rt△AOC中，由勾股定理，AC2=OC2+OA2，
即（4-m）2=m2+22，解得m=．
∴点C的坐标为（0，）；

（Ⅱ）如图②，折叠后点B落在OA边上的点为B′，
∴△B′CD≌△BCD．
∵OB′=x，OC=y，
∴B'C=BC=OB-OC=4-y，
在Rt△B′OC中，由勾股定理，得B′C2=OC2+OB′2．
∴（4-y）2=y2+x2，
即y=-x2+2．
由点B′在边OA上，有0≤x≤2，
∴解析式y=-x2+2（0≤x≤2）为所求．
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴y的取值范围为≤y≤2；

（Ⅲ）如图③，折叠后点B落在OA边上的点为B″，且B″D∥OC．
∴∠OCB″=∠CB″D．
又∵∠CBD=∠CB″D，
∴∠OCB″=∠CBD，
∵CB″∥BA．
∴Rt△COB″∽Rt△BOA．
∴，
∴OC=2OB″．
在Rt△B″OC中，
设OB″=x（x＞0），则OC=2x．
由（Ⅱ）的结论，得2x=-x2+2，
解得x=-8±4．
∵x＞0，
∴x=-8+4．
∴点C的坐标为（0，8-16）．