Question

如图，设在矩形ABCD中，点O为矩形对角线的交点，∠BAD的平分线AE交BC于点E，交OB于点F，已知AD=3，AB=．
（1）求证：△AOB为等边三角形；
（2）求BF的长．

Answer

（1）根据勾股定理可得BD=2，再根据矩形对角线互相平分，所以AO、BO、AB的长都等于，所以是正三角形；
（2）根据角平分线可得△ABE是等腰直角三角形，那么BE=，∠AEB=45°，在△BEO中，∠BOE=（180°-30°）÷2=75°，所以∠COE=180°-30°×2-75°=45°，所以△BEF≌△COE，那么BF=CE，进而得到CE=BC-BE=3-，得解．
（1）证明：在Rt△ABD中，BD===2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=BD=，
又∵AB=，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB为等边三角形；

（2）【解析】
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，△BEO是等腰三角形，
又∠EBO=90°-60°=30°，
∴∠BOE=（180°-30°）÷2=75°，
在△BOC中∠COE=180°-30°×2-75°=45°，
所以，在△BEF和△COE中，
∴△BEF≌△COE（ASA），
∴BF=CE，
又CE=BC-BE=3-，
∴BF=3-．