Question

（2013•保康县二模）已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC于点E，过点C作直线FC，使∠FCA=∠AOE，交AB的延长线于点D．
（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）设OC与BE相交于点G，若OG=2，求⊙O半径的长；
（3）在（2）的条件下，当OE=3时，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）要证FD是⊙O的切线只要证明∠OCF=90°即可；
（2）根据已知证得△OEG∽△CBG根据相似比不难求得OC的长；
（3）根据S阴影=S△OCD-S扇形OBC从而求得阴影的面积．
证明：（1）连接OC（如图①），
∵OA=OC，
∴∠1=∠A．
∵OE⊥AC，
∴∠A+∠AOE=90°．
∴∠1+∠AOE=90°．
∵∠FCA=∠AOE，
∴∠1+∠FCA=90°．
即∠OCF=90°．
∴FD是⊙O的切线．

（2）连接BC，（如图②）
∵OE⊥AC，
∴AE=EC（垂径定理）．
又∵AO=OB，
∴OE∥BC且．
∴∠OEG=∠GBC（两直线平行，内错角相等），
∠EOG=∠GCB（两直线平行，内错角相等），
∴△OEG∽△CBG（AA）．
∴．
∵OG=2，
∴CG=4．
∴OC=OG+GC=2+4=6．
即⊙O半径是6．

（3）∵OE=3，由（2）知BC=2OE=6，
∵OB=OC=6，
∴△OBC是等边三角形．
∴∠COB=60°．
∵在Rt△OCD中，CD=OC•tan60°=6，
∴S阴影=S△OCD-S扇形OBC==．