Question

（2009•无锡一模）如图，以正方形ABCD的边CD为直径作⊙O，以顶点C为圆心、边CB为半径作，E为BC的延长线上一点，且CD、CE的长恰为方程x²-2（+1）x+4=0的两根，其中CD＜CE．连接DE交⊙O于点F．
（1）求DF的长；
（2）求图中阴影部分的面积S．

Answer

（1）先根据CD、CE的长恰为方程x2-2（+1）x+4=0的两根，求出CD、CE的长；再根据CD、CE的长求出∠CDE的正切值，进而求出∠CDE的度数；然后利用直角三角形的特点求出DF的长．
（2）由图形可知S阴影=（S扇形BCD-S⊙O）+（S△DCE-S△DOF-S扇形COF），然后根据面积计算公式计算即可．
【解析】
（1）连接CF，
∵CD、CE的长为方程x2-2（+1）x+4=0的两根；
∴CE=2，CD=2；
∵∠DCE=90°，
∴tan∠CDE==；
∴∠CDE=60°；
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DFC=90°；
∴DF=DC=×2=1．

（2）连接OF，
∵∠CDE=60°，OD=OF，
∴△DOF是等边三角形；
∴OD=OF=DF=1；
∴S△DOF=×1=，S扇形FOC==，
S阴影FEC=S△ECD-S△DOF-S扇形FOC=×2×2--=-，
S阴影DBC=S扇形BCD-S半圆O=-π×1=π，
∴S阴影=S阴影FCE+S阴影DBC=-+π，
=．