Question

（2004•三明）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三，股四，弦五”．
（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算（9-1）、（9+1）与（25-1）、（25+1），并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；
（2）根据（1）的规律，用n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；
（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且m＞4）的代数式来表示他们的股和弦．

Answer

（1）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；
（2）股是勾的平方减去4的四分之一，弦是勾的平方加4的四分之一．
【解析】
（1）∵（9-1）=4，（9+1）=5；（25-1）=12，（25+1）=13；
∴7，24，25的股的算式为（49-1）=（72-1）
弦的算式为（49+1）=（72+1）；（4分）

（2）当n为奇数且n≥3，勾、股、弦的代数式分别为：n，（n2-1），（n2+1）．（7分）
例如关系式①：弦-股=1；关系式②：勾2+股2=弦2（9分）
证明关系式①：弦-股=（n2+1）-（n2-1）=[（n2+1）-（n2-1）]=1
或证明关系式②：勾2+股2=n2+[（n2-1）]2=n4+n2+=（n2+1）2=弦2∴猜想得证；（12分）

（3）例如探索得，当m为偶数且m＞4时，股、弦的代数式分别为：，．（14分）
另加分问题，
例如：连接两组勾股数中，上一组的勾、股与下一组的勾的和等于下一组的股．
即上一组为：n，（n2-1），（n2+1）（n为奇数且n≥3），
分别记为：A1、B1、C1，
下一组为：n+2，[（n+2）2-1]，[（n+2）2+1]（n为奇数且n≥3），
分别记为：A2、B2、C2，
则：A1+B1+A2=n+（n2-1）+（n+2）=（n2+4n+3）=[（n+2）2-1]=B2．
或B1+C2=B2+C1（证略）等等．