Question

（2010•泰州）如图，⊙O是O为圆心，半径为的圆，直线y=kx+b交坐标轴于A、B两点．
（1）若OA=OB
①求k；
②若b=4，点P为直线AB上一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为C、D，若∠CPD=90°，求点P的坐标；
（2）若，且直线y=kx+b分⊙O的圆周为1：2两部分，求b．

Answer

（1）①由OA=OB，设出A、B两点坐标代入直线y=kx+b即可求得k；
②由题意得，Rt△POC≌Rt△POD∠CPO=∠DPO=∠CPD=45°算出OP的长，则P点坐标即可确定；
（2）根据题意，当直线被⊙O切割的弦长对应的劣弧的圆心角为120°时，求出b即可．
【解析】
（1）①由OA=OB，设A点坐标（a，0），则点B的坐标（0，a），
把这两点代入直线的解析式y=kx+b得：，
解得：k=-1．
②由题意得，Rt△POC≌Rt△POD，
∴∠CPO=∠DPO=∠CPD=45°，OP=OC=R=，
又∵直线的函数解析式y=-x+4，
故设P点坐标（x，-x+4）
OP==，解得：x=1或3
∴P（1，3）或（3，1）
（2）由题意得，当直线被切割的弦所对的圆周角为120°时，
弦长为2Rsin60°=R时，弦分圆周为1：2，符合题意，
联立直线和圆的方程得，

将①代入②消去y得x2+（-+b）2=5，即x2-bx+b2-5=0
利用根与系数的关系可得（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=b2-b2+16=-b2+16，
将①代入②消去x得 （2b-2y）2+y2=5，即5y2-8by+4b2-5=0
利用根与系数的关系可得（y1-y2）2=（y1+y2）2-4y1y2=b2-b2+16=-b2+16，
将解得的两交点坐标用两点间距离公式得=
解得：b=±．