Question

（2009•乌鲁木齐）如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．
（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；
（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；
（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；
（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN=90°？若存在，请直接写出点P的坐标．

Answer

本题综合考查了三角形全等、一次函数、二次函数，及线段最短和探索性的问题．
（1）通过△POC≌△POD而证得PC=PD．
（2）首先要确定P点的位置，再求出P、F两点坐标，利用待定系数法求的抛物线解析式；
（3）此问首先利用对称性确定出P点位置是EC与∠AOC的平分线的交点，再利用抛物线与直线CE的解析式求出交点P的坐标．进而求的△PED的周长；
（4）要使∠CPN=90°，则P点是以CN的中点为圆心以CN为直径的圆与角平分线的交点，由此就易于写出P点的坐标．
【解析】
（1）∵点D是OA的中点，
∴OD=2，
∴OD=OC．
又∵OP是∠COD的角平分线，
∴∠POC=∠POD=45°，
∴△POC≌△POD，
∴PC=PD．

（2）过点B作∠AOC的平分线的垂线，垂足为P，点P即为所求．
易知点F的坐标为（2，2），故BF=2，作PM⊥BF，
∵△PBF是等腰直角三角形，
∴PM=BF=1，
∴点P的坐标为（3，3）．
∵抛物线经过原点，
∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx．
又∵抛物线经过点P（3，3）和点D（2，0），
∴有
解得
∴抛物线的解析式为y=x2-2x；

（3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于∠AOC的平分线的对称点即为C点．
连接EC，它与∠AOC的平分线的交点即为所求的P点（因为PE+PD=EC，而两点之间线段最短），此时△PED的周长最小．
∵抛物线y=x2-2x的顶点E的坐标（1，-1），C点的坐标（0，2），
设CE所在直线的解析式为y=kx+b，
则有，
解得．
∴CE所在直线的解析式为y=-3x+2．
点P满足，
解得，
故点P的坐标为．
△PED的周长即是CE+DE=+；

（4）假设存在符合条件的P点．矩形的对称中心为对角线的交点，故N（2，1）．
①当P点在N点上方时，由（2）知F（2，2），且∠NFC=90°，显然F点符合P点的要求，故P（2，2）；
②当P点在N点下方时，设P（a，a），则：∵C（0，2），N（2，1），∴由勾股定理得，CP2+PN2=CN2，即a2+（a-2）2+（2-a）2+（1-a）2=5，即4a2-10a+4=0，解得a=或a=2，故P（，），
综上可知：存在点P，使∠CPN=90度．其坐标是或（2，2）．