Question

已知抛物线C₁与x轴的一个交点为交于（-4，0），对称轴为x=-1.5，并过点（-1，6），
（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）求出与抛物线C₁关于原点对称的抛物线C₂的解析式，并在C₁所在的平面直角坐标系中画出C₂的图象；
（3）在（2）的条件下，抛物线C₁与抛物线C₂与相交于A，B两点（点A在点B的左侧），
①求出点A和点B的坐标；
②点P在抛物线C₁上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线C₂上，也位于点A和点B之间、当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值．

Answer

（1）根据抛物线的对称轴，可求得抛物线与x轴的另一个交点的坐标，然后用待定系数法求解即可．
（2）将C1的解析式化为顶点坐标式，即可得到抛物线C1的顶点坐标，若C1、C2关于原点对称，那么它们的顶点坐标也关于原点对称，而二次项系数互为相反数，可据此求出C2的解析式，进而画出它的图象．
（3）①联立抛物线C1、C2的解析式，即可求得A、B的坐标；
②设出点P的横坐标，根据两个抛物线的解析式，可得到P、Q两点的纵坐标，即可得到关于PQ的长和P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得PQ的最大长度．
【解析】
（1）∵抛物线C1交x轴于（-4，0），对称轴为x=-1.5，
∴抛物线C1与x轴的另一个交点为（1，0）；
设C1的解析式为：y=a（x+4）（x-1），则有：
a（-1+4）（-1-1）=6，
解得a=-1，
∴y=-（x+4）（x-1），即C1：y=-x2-3x+4．

（2）由（1）知，抛物线C1：y=-x2-3x+4=-（x+）2+；
由于C1、C2关于原点对称，则抛物线C2：y=（x-）2-，
其图象如图所示：

（3）①联立抛物线C1、C2的解析式，可得：
，
解得，；
故A（-2，6）；B（2，-6）；
②设P（a，b），则-2≤a≤2，yp=b=-a2-3a+4，
因为PQ∥y轴，
所以点Q的横坐标为a，则yQ=a2-3a-4，
所以PQ=yp-yQ=-2a2+8，
即当a=0时，PQ的最大值为8．