Question

如图①，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H、动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，图②所示为点P在线段AB上运动时，△PAC的面积T与运动时间t之间关系的图象．
（1）求点A的坐标直线AC的解析式；
（2）求出点P在剩余时间内运动时，△PAC的面积T与运动时间t之间关系，并在图②中画出相应的图象；
（3）连接BM，如图③，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（4）当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

Answer

（1）过C点作AB的高，与AB的延长线交于D点，根据函数图象可求菱形的边长AB，结合面积求菱形的高CD，由勾股定理求DH，从而可得AH，再表示A点坐标，利用“两点法”求直线AC的解析式；
（2）根据函数图象可直接写出，△PAC的面积T与运动时间t之间关系式；
（3）由点P分别在AB之间，BC之间，求三角形的底和高，再表示面积；
（4）利用互余关系寻找角的相等关系，再确定P点的位置及三角函数值．
【解析】
（1）过C点作AB的高，与AB的延长线交于D点，
由右图可知，运动时间为2.5秒，AP=2.5×2=5，
又面积为10，所以，CD==4，
在Rt△CBD中，BD==3
故AH=AB-BH=OC-BH=DH-BH=BD=3
∴A（-3，4）；
将A（-3，4），C（5，0）代入直线y=kx+b中，
得AC：；

（2）【解析】
将（2.5，10），（5，0）代入T=kt+b，
，
解得：k=-4，b=20，
∴T=20-4t
如图②所示

（3）当点P在AB之间时，S=×（4-）×（5-2t）=-t（0≤t≤），
当点P在BC之间时，S=××（2t-5）=t-（＜t≤5）；

（4）设OP与AC相交于点Q连接OB交AC于点K，∵∠AOC=∠ABC，
∴∠AOM=∠ABM，
∵∠MPB+∠BCO=90°，∠BAO=∠BCO，∠BAO+∠AOH=90°，
∴∠MPB=∠AOH，∴∠MPB=∠MBH．
当P点在AB边上运动时，如图（2）
∵∠MPB=∠MBH，
∴PM=BM，∵MH⊥PB，
∴PH=HB=2，
∴PA=AH-PH=1，
∴t=，
∵AB∥OC，
∴∠PAQ=∠OCQ，
∵∠AQP=∠CQO，
∴△AQP∽△CQO，
∴==，
在Rt△AEC中，AC===4，
∴AQ=QC=，
在Rt△OHB中，OB===2，
∵AC⊥OB，OK=KB AK=CK，
∴OK=AK=KC=2∴QK=AK-AQ=
∴tan∠OQC==，

当P点在BC边上运动时，如图（3）
∵∠BHM=∠PBM=90°，∠MPB=∠MBH，
∴tan∠MPB=tan∠MBH，
∴=即=，
∴BP=，
∴t=，
∴PC=BC-BP=5-．
由PC∥OA，同理可证△PQC∽△OQA，
∴=，
∴=，
CQ=AC=，
∴QK=KC-CQ=
∵OK=，∴tan∠OQK=．
综上所述，当t=时，∠MPB与∠BCO互为余角，直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为．
当t=时，∠MPB与∠BCO互为余角，直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为1．