Question

运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．
（1）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h₁、h₂．请用面积法证明：h₁+h₂=h；

（2）当点M在BC延长线上时，h₁、h₂、h之间的等量关系式是______；（直接写出结论不必证明）
（3）如图2在平面直角坐标系中有两条直线l₁：y=x+3、l₂：y=-3x+3，若l₂上的一点M到l₁的距离是1，请运用（1）、（2）的结论求出点M的坐标．

Answer

（1）连接AM，△ABC被分成△ABM和△ACM两个三角形，根据三角形的面积公式底乘以高除以2分别求解，再根据S△ABC=S△ABM+S△AMC整理即可得到h1+h2=h．
（2）根据（1）的方法，利用三角形面积的关系求解即可；
（3）先根据直线关系式求出A、B、C三点的坐标利用勾股定理求出AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，再分点M在线段BC上和CB的延长线上两种情况讨论求解．
【解析】
（1）∵S△ABC=S△ABM+S△AMC，S△ABM=×AB×ME=×AB×h1，S△AMC=×AC×MF=×AC×h2，
又∵S△ABC=×AC×BD=×AC×hAB=AC，
∴×AC×h=×AB×h1+×AC×h2，
∴h1+h2=h．

（2）h1-h2=h．

（3）在y=x+3中，令x=0得y=3；令y=0得x=-4，则：
A（-4，0），B（0，3）同理求得C（1，0），
AB==5，AC=5，
所以AB=AC，即△ABC为等腰三角形．
①当点M在BC边上时，由h1+h2=h得：
1+My=OB，My=3-1=2，把它代入y=-3x+3中求得：Mx=，
∴M（，2）；
②当点M在CB延长线上时，由h1-h2=h得：My-1=OB，My=3+1=4，
把它代入y=-3x+3中求得：Mx=-，
∴M（-，4），
∴点M的坐标为（，2）或（，4）．