Question

如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=．点O为线段BC上的动点，连接OD，以O为圆心，OB为半径的⊙O分别交线段AB、OD于点P、M，交射线BC于点N，连接AC、MN，AC交线段OD于点E．
（1）求梯形对角线AC的长．
（2）如图2，当点O在线段BC上运动到使⊙O与对角线AC相切时，求⊙O的半径OB．
（3）如图3，当点O在线段BC上运动到使⊙O与线段BC的延长线交于点N时，以C为圆心，CN为半径作⊙C，则⊙C与⊙O相内切，求⊙C的半径CN的最大值．
（4）在点O在线段BC上运动的过程中，是否存在MN∥AC的情况？若存在，求出⊙O的半径OB；若不存在，说明理由．

Answer

（1）过点A作AH⊥BC于点H．先由AB及cosB求得BH，再求得AH、HC，则AC的长也可求出．
（2）由△OCG∽△ACH得=，设OB=r，OC=6-r，代入可求得r的值．
（3）当点O在线段BC上运动到使P、A重合时，⊙C的半径CN最大．过点O作OF⊥AB于点F，先在△OBF中求得OB的长，再由BC求得OC的长，则CN的长即可求出．
（4）在点O在线段BC上运动的过程中，不存在MN∥AC的情况．可假设MN∥AC，用反证法证得矛盾．
【解析】
（1）如图1，
过点A作AH⊥BC于点H．
∵在直角△ABH中，cosB=．
∴=，
∵AB=5．
∴BH=3AH=4．
∵BC=6，
∴CH=3．
∵AH⊥BC，DC⊥BC，
∴AH∥DC．
∵AD∥BC，
∴四边形AHCD是矩形．
∴AD=CH=3，DC=AH=4．
∴AC=5．

（2）如图2，连接OG．
∵⊙O与对角线AC相切，
∴OG⊥AC．∴△OCG∽△ACH．
∴=．
设OB=r，则OC=6-r．
∴=．∴r=，即OB=．

（3）如图3，
当点O在线段BC上运动到使P、A重合时，⊙C的半径CN最大．
过点O作OF⊥AB于点F．
∵OA=OB，AB=5，
∴BF=．
∵cosB=，
∴=．
∴OB=．
∴ON=．
∵BC=6，
∴OC=6-=．
∴CN=ON-OC=-=．

（4）如图4，
在点O在线段BC上运动的过程中，不存在MN∥AC的情况．
理由：假设MN∥AC，则=．
∵OM=ON，
∴OC=OE．
∵AD∥OC，
∴=．
∴AD=DE．
∵AD=3，
∴DE=3．
设OB=r，则OC=OE=6-r，OD=OE+ED=6-r+3=9-r．
∵在直角△OCD中，OC2+CD2=OD2．
∴42+（6-r）2=（9-r）2．
∴r=．
∵△OBP∽△ABC，
∴=．
∴=．
∴BP=r=×=＞AB=5．
∴与点P在AB上矛盾．
∴在点O在线段BC上运动的过程中，不存在MN∥AC的情况．