Question

（2010•镇江）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，
即：当n为非负整数时，如果则＜x＞=n．
如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12＞=4，…
试解决下列问题：
（1）填空：①＜π＞=______（π为圆周率）；
②如果＜2x-1＞=3，则实数x的取值范围为______；
（2）①当x≥0，m为非负整数时，求证：＜x+m＞=m+＜x＞；
②举例说明＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不恒成立；
（3）求满足＜x＞=的所有非负实数x的值；
（4）设n为常数，且为正整数，函数的自变量x在n≤x＜n+1范围内取值时，函数值y为整数的个数记为a，满足＜＞=n的所有整数k的个数记为b．求证：a=b=2n．

Answer

（1）π的十分位为1，应该舍去，所以精确到个位是3；如果精确数是3，那么这个数应在2.5和3.5之间，包括2.5，不包括3.5，让2.5≤2x-1＜3.5，解不等式即可；
（2）①分别表示出＜x+m＞和＜x＞，即可得到所求不等式；②举出反例说明即可，譬如稍微超过0.5的两个数相加；
（3）x为整数，设这个整数为k，易得这个整数应在应在k-和k+之间，包括kx-，不包括k+，求得整数k的值即可求得x的非负实数的值；
（4）易得二次函数的对称轴，那么可求得二次函数的函数值在相应的自变量的范围内取值，进而求得相应的a的个数；利用所给关系式易得的整数个数为2n，由此得证．
【解析】
（1）①3；
②由题意得：2.5≤2x-1＜3.5，解得：；

（2）①证明：设＜x＞=n，则为非负整数；
∴，且n+m为非负整数，
∴＜x+m＞=n+m=m+＜x＞．
②举反例：＜0.6＞+＜0.7＞=1+1=2，而＜0.6+0.7＞=＜1.3＞=1，
∴＜0.6＞+＜0.7＞≠＜0.6+0.7＞，
∴＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不一定成立；

（3）∵x≥0，为整数，设x=k，k为整数，
则，
∴，
∴，
∵O≤k≤2，
∴k=0，1，2，
∴x=0，，．

（4）∵函数，n为整数，
当n≤x＜n+1时，y随x的增大而增大，
∴，即，①
∴，∵y为整数，
∴y=n2-n+1，n2-n+2，n2-n+3，…，n2-n+2n，共2n个y，
∴a=2n，②
∵k＞0，＜＞=n，
则，∴，③
比较①，②，③得：a=b=2n．