Question

（2003•苏州）OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6．
（1）如图1，在OA上选取一点G，将△COG沿CG翻折，使点O落在BC边上，记为E，求折痕y₁所在直线的解析式；
（2）如图2，在OC上选取一点D，将△AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为E'．
①求折痕AD所在直线的解析式；
②再作E'F∥AB，交AD于点F．若抛物线y=-x²+h过点F，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD的交点的个数．
（3）如图3，一般地，在OC、OA上选取适当的点D'、G'，使纸片沿D'G'翻折后，点O落在BC边上，记为E''．请你猜想：折痕D'G'所在直线与②中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想．

Answer

（1）根据折叠的性质可知：四边形OGEC是个正方形，因此OC=OG=6，据此可得出G点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线CG的解析式．
（2）①本题的关键是求出D的坐标，根据折叠的性质可知AE′=OA，那么可在直角三角形ABE′中求出BE′的长，进而可求出CE′的值．在直角三角形CDE′中，CD=6-OD，DE′=OD，根据勾股定理即可求出OD的长，也就得出了D点的坐标，然后可用待定系数法求出直线AD的解析式．
②①中已经求得CE′的长，即F点的横坐标，可根据直线AD的解析式求出F点的坐标，然后将F的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．进而可根据抛物线的解析式来判断其与x轴交点的个数．
【解析】
（1）由折叠法知，四边形OCEG是正方形，
∴OG=OC=6，
∴G（6，0），C（0，6）．
设直线CG的解析式为y=kx+b，
则0=6k+b，6=0+b，
∴k=-1，b=6，
∴直线CG的解析式为：y=-x+6．

（2）①在Rt△ABE'中，BE'==8，
∴CE′=2．
设OD=s，则DE'=s，CD=6-s，
在Rt△DCE'中，s2=（6-s）2+22，
∴s=．
则D（0，）
设AD：y=k'x+，
由于它过A（10，0），
∴k'=-，
∴AD：y=-x+．
②∵E'F∥AB，E'（2，6），
∴设F（2，yF），
∵F在AD上，
∴yF=-×2+=，
∴F（2，）．
又∵点F在抛物线y=-x2+h上，
∴=-×4+h，
∴h=3．
∴抛物线的解析式为：y=-x2+3．
即-x2+x-=0，
∵△=（）2-4×（-）×（-）=0
∴直线AD与抛物线只有一个交点．

（3）例如可以猜想：
（ⅰ）折痕所在直线与抛物线y=-x2+3只有一个交点；
或（ⅱ）若作E''F''∥AB，交D'G'于F'，则F'在抛物线y=-x2+3上．
验证：（ⅰ）在图1中，折痕为CG，
将y=-x+6代入y=-x2+3，
得-x2+x-3=0．
∵△=1-4×（-3）×（-）=0，
∴折痕CG所在直线的确与抛物线y=-x2+3只有一个交点．
或（ⅱ）在图1中，D'即C，E''即E，G'即G，交点F'也为G（6，0），
∴当x=6时，y=-x2+3=-×62+3=0，
∴G点在这条抛物线上．