Question

（2005•武汉）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知∠ADC=∠BCD，AD=BC，求证：AO=BO．

Answer

要证明AO=BO，就要证明三角形AOB和BOC全等．在三角形AOB和BOC中，已知的条件有对顶角∠AOD=∠BOC，AD=BC，那么只需再得出一对应角相等即可．那么我们可以通过证明三角形ADC和BCD全等来实现，已知的条件有∠ADC=∠BCD，AD=BC，公共边CD，因此符合了SAS的条件，可得出∠DAC=∠DBC，这样就凑齐了判定三角形AOB和BOC全等中的所有条件（AAS），这样三角形AOB和BOC就全等了．
证明：在△ADC和△BCD中
∵，
∴△ADC≌△BCD（SAS）．
∴∠DAO=∠CBO．
在△ADO和△BCO中，
∵
∴△ADO≌△BCO（AAS）．
∴AO=BO．