Question

（2009•浔阳区模拟）如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，动点P、Q同时从A点出发，点P沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动．点Q沿折线ADC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，设运动时间为t秒．
（1）当t=2秒时，求证：PQ=CP；
（2）当2＜t≤4时，等式“PQ=CP”仍成立吗？试说明其理由；
（3）设△CPQ的面积为S，那么S与t之间的函数关系如何？并问S的值能否大于正方形ABCD面积的一半？为什么？

Answer

（1）当t=2时，P恰好是AB的中点，求证△CBP≌△DAP后可得PQ=CP．
（2）当2＜t≤4时，过Q点作QE⊥AB于E，求出AE=QD=2t-4，AP=t，PE=t-（2t-4），PB=4-t，求证△CBP≌△DEP，推出PC=PQ仍然成立
（3）本题分两种情况解答：当0≤t≤2时，S=16-S△APQ-S△PBC-S△CDQ化简可得S关于t的二次函数式．当2＜t≤4时，QD=2t-4，CQ=4-（2t-4）作PF⊥CQ求出S关于t的二次函数式，分别根据二次函数的性质对两种情况进行判断．
（1）证明：当t=2时，（如图1），Q与D重合，P恰好是AB的中点，△CBP≌△DAP，
则PQ=CP；

（2）【解析】
当2＜t≤4时，如图2）Q在CD上，
过Q作QE⊥AB于E，AE=QD=2t-4，AP=t．
PE=t-（2t-4）=4-t．
PB=4-t，PB=PE，BC=EQ
∴△CBP≌△QEP，
∴PC=PQ仍然成立

（3）【解析】
当0≤t≤2时，（如图3），S=16-S△APQ-S△PBC-S△CDQ=，
S=-t2+6t，
当2＜t≤4时，QD=2t-4，CQ=4-（2t-4）=8-2t．
过P作PF⊥CQ，则PF=4．S=×4（8-2t）=-4t+16
又∵S=-t2+6t=-（t-3）2+9开口向下对称轴为t=3，
∴0≤t≤2时，S随t增大而增大，
当t=2时，S取得最大值为8．
又∵S=-4t+16，
∵2＜t≤4
∴2＜≤4
即8＞s≥0，
∴S的值不可能超过正方形面积的一半8．