Question

同学们，折纸中也有很大的学问呢．黄老师出示了以下三个问题，小聪、小明、小慧分别在黑板上进行了板演，请你也解答这个问题：
在一张长方形ABCD纸片中，AD=25cm，AB=20cm，现将这张纸片按如下列图示方式折叠，分别求折痕的长．
（1）如图1，折痕为AE；
（2）如图2，P，Q分别为AB，CD的中点，折痕为AE；
（3）如图3，折痕为EF．

Answer

本题的折叠问题由易到难，图（1）（2）都是轴对称的两个三角形，图（3）是轴对称的两个直角梯形，过F作FM⊥BC，FM就与FD对称，将问题转化求解．
【解析】
（1）∵由折叠可知△ABE为等腰直角三角形，
∴AE=AB=20cm；

（2）∵由折叠可知，AG=AB，∠GAE=∠BAE，
∵点P为AB的中点
∴AP=AB
∴AP=AG
在Rt△APG中，得∠GAP=60°
∴∠EAB=30°
在Rt△EAB中，AE=AB=cm；

（3）解法一：连接BD，交EF于点O，
由勾股定理得：BD==5
由折叠可知，折痕EF为BD的垂直平分线
∴OD=BD=
可证△DOF∽△DAB
∴
∴FO=2
由对称性可知：EF=2FO=4；

解法二：过点E作EH⊥AD于点H，连BF，
由折叠可知DE=BE
∵AF=FG，DF=AB，GD=AB
∴△ABF≌△GDF
又∵∠GDF=∠CDE，GD=CD
∴Rt△GDF≌Rt△CDE
∴DF=DE=BE
在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2
∵CB=25，CD=20，202+CE2=（25-CE）2
∴CE=4.5，BE=25-4.5=20.5，HF=20.5-4.5=16
在Rt△EHF中
∵EH2+HF2=FE2，202+162=FE2
∴EF==4cm．