Question

（2010•鞍山）①如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD，BC，AC的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论；
②如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC，交CE的延长线与点F．求证：AB垂直平分DF．

Answer

①（1）由三角形中位线知识可得EF=GH，EF∥GH，∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）要是菱形，只需增加相邻两边相等，如要得到EF=GF，由中位线知识，只须AB=CD．
②∵FB∥AC，∠ACB=90°∴∠FBC=90°，由AC=BC、∠ACB=90°∴∠DBA=45°，AB是∠CBF平分线．证明Rt△ADC≌Rt△FBC，所以DB=FB，所以，AB垂直平分DF（等腰三角形中的三线合一定理）．
①（1）证明：
∵E、F分别是AD、BD中点，
∴EF∥AB，EF=AB，
同理GH∥AB，GH=AB，
∴EF=GH，EF∥GH，∴四边形EFGH是平行四边形．

（2）【解析】
当四边形ABCD满足AB=CD时，四边形EFGH是菱形．
证明：F、G分别是BD、BC中点，所以GF=CD，
∵AB=CD，∴EF=GF
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．

②证明：∵∠ACB=90°，Rt△ADC中，∠1+∠2=90°，
∵AD⊥CF，在Rt△EDC中，∠3+∠2=90°，得：∠1=∠3．
∵FB∥AC，∠ACB=90°，∴∠FBC=90°，得：△FBC是直角三角形．
∵AC=BC，∠1=∠3，△FBC是直角三角形
∴Rt△ADC≌Rt△FBC．
∴CD=FB，已知CD=DB，可得：DB=FB．
由AC=BC、∠ACB=90°，可得：∠4=45°，AB是∠CBF平分线．
所以，AB垂直平分DF（等腰三角形中的三线合一定理）．