Question

（2010•鞍山）在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10．点E在下底边BC上，点F在腰AB上．
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；
（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先作AK⊥BC于K，FG⊥BC于G，根据等腰梯形的性质，可得BK=（BC-AD）=3，在Rt△ABK中，利用勾股定理可求出AK=4，由于AK、FG垂直于同一直线故平行，可得比例线段，求出FG=，利用面积公式可得S△BEF=-x2+x（7≤x≤10，因为BF最大取5，故BE最小取7，又不能超过10）；
（2）根据题意，结合（1）中面积的表达式，可以得到S梯形ABCD=-x2+x，即14=-x2+x，解得，x1=7，x2=5（不合题意，舍去）；
（3）仍然按照（1）和（2）的步骤和方法去做就可以了，注意不是分成相等的两份，而是1：2就可以了，得到关于x的一元二次方程，先求出根的判别式△，由于△＜0，故不存在实数根．
【解析】
（1）由已知条件得：
梯形周长为24，高4，面积为28．
过点F作FG⊥BC于G
∴BK=（BC-AD）=×（10-4）=3，
∴AK==4，
∵EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，
∴BF=12-x，
过点A作AK⊥BC于K
∴△BFG∽△BAK，
∴，
即：，
则可得：FG=×4
∴S△BEF=BE•FG=-x2+x（7≤x≤10）；（3分）

（2）存在（1分）
由（1）得：-x2+x=14，
x2-12x+35=0，
（x-7）（x-5）=0，
解得x1=7，x2=5（不合题意舍去）
∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7；

（3）不存在（1分）
假设存在，第一种情况：显然是：S△BEF：SAFECD=1：2，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=1：2（1分），
梯形ABCD周长的三分之一为=8，面积的三分之一为．因为BE=X，
所以BF=（8-X）
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴=，
∴FM=，
∴△BEF的面积=，
当 梯形ABCD的面积=时，
∴=，
整理方程得：-3x2+24x-70=0，
△=576-840＜0
∴不存在这样的实数x．
即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积．
同时分成1：2的两部分．（2分）
第二种情况：显然是：S△BEF：SAFECD=2：1，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=2：1（1分），
梯形ABCD周长的三分之一为=8，面积的三分之一为．因为BE=x，
所以BF=（8-x）
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴，
∴FM=，
∴△BEF的面积=，
当 梯形ABCD的面积=时，
∴=，
整理方程得：3x2-24x+140=0，
△＜0
∴不存在这样的实数x．
即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积．
同时分成1：2的两部分．