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(2010•抚顺)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,AB=8.半径为manfen5.com 满分网的⊙M与射线BA相切,切点为N,且AN=3.将Rt△ABC顺时针旋转120°后得到Rt△ADE,点B、C的对应点分别是点D、E.
(1)画出旋转后的Rt△ADE;
(2)求出Rt△ADE的直角边DE被⊙M截得的弦PQ的长度;
(3)判断Rt△ADE的斜边AD所在的直线与⊙M的位置关系,并说明理由.

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(1)把三角形AB旋转120°就能得到图形. (2)连接MQ,过M点作MF⊥DE,由AN=3,AC=4,求出NE的长;在Rt△MFQ中,利用勾股定理可求出QF,根据垂径定理知QF就是弧长PQ的一半. (3)过M作AD的垂线设垂足为H,然后证MH与⊙M半径的大小关系即可;连接AM、MN,由于AE是⊙M的切线,故MN⊥AE,在Rt△AMN中,通过解直角三角形,易求得∠MAN=30°,由此可证得AM是∠DAE的角平分线,根据角平分线的性质即可得到MH=MN,由此可证得⊙M与AD相切. 【解析】 (1)如图Rt△ADE就是要画的图形 (2)连接MQ,过M点作MF⊥DE,垂足为F,由Rt△ABC可知,NE=1, 在Rt△MFQ中,解得FQ=,故弦PQ的长度2. (3)AD与⊙M相切. 证明:过点M作MH⊥AD于H,连接MN,MA,则MN⊥AE,且MN=, 在Rt△AMN中,tan∠MAN==, ∴∠MAN=30°, ∵∠DAE=∠BAC=60°, ∴∠MAD=30°, ∴∠MAN=∠MAD=30°, ∴MH=MN, ∴AD与⊙M相切.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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