Question

（2010•抚顺）如图所示，平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c经过A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0）．过点A作AD∥x轴交抛物线于点D，过点D作DE⊥x轴，垂足为点E．点M是四边形OADE的对角线的交点，点F在y轴负半轴上，且F（0，-2）．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出四边形OADE的形状；
（2）当点P、Q从C、F两点同时出发，均以每秒1个长度单位的速度沿CB、FA方向运动，点P运动到O时P、Q两点同时停止运动．设运动的时间为t秒，在运动过程中，以P、Q、O、M四点为顶点的四边形的面积为S，求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在抛物线上是否存在点N，使以B、C、F、N为顶点的四边形是梯形？若存在，直接写出点N的坐标；不存在，说明理由．

Answer

（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0）三点，把三点坐标代入抛物线表达式中，联立方程解出a、b、c．
（2）过M作MN⊥OE于N，则MN=2，由题意可知CP=FQ=t，当0≤t＜2时，OP=6-t，OQ=2-t，列出S与t的关系式，当t=2时，Q与O重合，点M、O、P、Q不能构成四边形，当2＜t＜6时，连接MO，ME则MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°，可证三角形全等，进而计算出三角形面积．
（3）若B、C、F、N为顶点的四边形是梯形，则四边形有两边平行，设出N点的坐标，分类讨论两边平行时N点坐标满足的条件，进而求出N点坐标．
【解析】
（1）∵抛物线经过A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0），
∴c=4，
，
解得a=-，b=，c=4．
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+4．
四边形OADE为正方形．

（2）连接MQ．
根据题意，可知OE=OA=4，OC=6OB=OF=2，
∴CE=2，
∴CO=FA=6，
∵运动的时间为t，
∴CP=FQ=t，
过M作MN⊥OE于N，则MN=2，
当0≤t＜2时，OP=6-t，OQ=2-t，
∴S=S△OPQ+S△OPM=（6-t）×2+（6-t）（2-t）=（6-t）（4-t），
∴S=t2-5t+12．
当t=2时，Q与O重合，点M、O、P、Q不能构成四边形，
当2＜t＜6时，连接MO，ME则MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°，
∵FQ=CP=t，FO=CE=2，
∴OQ=EP，
∴△QOM≌△PEM，
∴四边形OPMQ的面积S=S△MOE=×4×2=4，
综上所述，当0≤t＜2时，S=t2-5t+12；当2＜t＜6时，S=4．

（3）分三种情况：
①以BF为底边时，经过点C作BF的平行线，与抛物线交于点N的坐标为（1，5）；
②以CF为底边时，经过点B作CF的平行线，与抛物线交于点N的坐标为（5，）；
③以BC为底边时，经过点F作BC的平行线，与抛物线交于点N的坐标为（2+，-2）或（2-，-2）．
故在抛物线上存在点N1（1，5），N2（5，），N3（2+，-2），N4（2-，-2），
使以B、C、F、N为顶点的四边形是梯形．