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(2009•辽宁)已知:如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,点P是...

(2009•辽宁)已知:如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,点P是腰DC上的一个动点(P与D、C不重合),点E、F、G分别是线段BC、PC、BP的中点.
(1)试探索四边形EFPG的形状,并说明理由;
(2)若∠A=120°,AD=2,DC=4,当PC为何值时,四边形EFPG是矩形并加以证明.

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根据中点的条件,可以利用.三角形的中位线定理证明四边形EFPG的两组对边分别平行,得出这个四边形是平行四边形; 在平行四边形的基础上要说明四边形是矩形,只要再说明一个角是直角就可以. 【解析】 (1)四边形EFPG是平行四边形.(1分) 理由:∵点E、F分别是BC、PC的中点, ∴EF∥BP.(2分) 同理可证EG∥PC.(3分) ∴四边形EFPG是平行四边形.(4分) (2)方法一:当PC=3时,四边形EFPG是矩形.(5分) 证明:延长BA、CD交于点M. ∵AD∥BC,AB=CD,∠BAD=120°, ∴∠ABC=∠C=60°. ∴∠M=60°, ∴△BCM是等边三角形.(7分) ∵∠MAD=180°-120°=60°, ∴AD=DM=2. ∴CM=DM+CD=2+4=6.(8分) ∵PC=3, ∴MP=3, ∴MP=PC, ∴BP⊥CM即∠BPC=90度. 由(1)可知,四边形EFPG是平行四边形, ∴四边形EFPG是矩形.(10分) 方法二:当PC=3时,四边形EFPG是矩形.(5分) 证明:延长BA、CD交于点M.由(1)可知,四边形EFPG是平行四边形. 当四边形EFPG是矩形时,∠BPC=90度. ∵AD∥BC,∠BAD=120°, ∴∠ABC=60度. ∵AB=CD,∴∠C=∠ABC=60度. ∴∠PBC=30°且△BCM是等边三角形.(7分) ∴∠ABP=∠PBC=30°, ∴PC=PM=CM.(8分) 同方法一,可得CM=DM+CD=2+4=6, ∴PC=6×=3. 即当PC=3时,四边形EFPG是矩形.(10分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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