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(2009•辽宁)已知:在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-x+3(a≠0)交...

(2009•辽宁)已知:在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-x+3(a≠0)交x轴于A、B两点,交y轴于点C,且对称轴为直线x=-2.
(1)求该抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)若点P(0,t)是y轴上的一个动点,请进行如下探究:
探究一:如图1,设△PAD的面积为S,令W=t•S,当0<t<4时,W是否有最大值?如果有,求出W的最大值和此时t的值;如果没有,说明理由;
探究二:如图2,是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似?如果存在,求点P的坐标;如果不存在,请说明理由.(参考资料:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴是直线x=manfen5.com 满分网
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(1)由抛物线的对称轴求出a,就得到抛物线的表达式了; (2)①下面探究问题一,由抛物线表达式找出A,B,C三点的坐标,作作DM⊥y轴于M,再由面积关系:SPAD=S梯形OADM-SAOP-SDMP得到t的表达式,从而W用t表示出来,转化为求最值问题. ②难度较大,运用分类讨论思想,可以分三种情况: (1)当∠P1DA=90°时;(2)当∠P2AD=90°时;(3)当AP3D=90°时;思路搞清晰问题就好解决了. 【解析】 (1)∵抛物线y=ax2-x+3(a≠0)的对称轴为直线x=-2. ∴, ∴, ∴. ∴D(-2,4). (2)探究一:当0<t<4时,W有最大值. ∵抛物线交x轴于A、B两点,交y轴于点C, ∴A(-6,0),B(2,0),C(0,3), ∴OA=6,OC=3.(4分) 当0<t<4时,作DM⊥y轴于M, 则DM=2,OM=4. ∵P(0,t), ∴OP=t,MP=OM-OP=4-t. ∵S三角形PAD=S梯形OADM-S三角形AOP-S三角形DMP = = =12-2t(6分) ∴W=t(12-2t)=-2(t-3)2+18 ∴当t=3时,W有最大值,W最大值=18. 探究二: 存在.分三种情况: ①当∠P1DA=90°时,作DE⊥x轴于E,则OE=2,DE=4,∠DEA=90°, ∴AE=OA-OE=6-2=4=DE. ∴∠DAE=∠ADE=45°,, ∴∠P1DE=∠P1DA-∠ADE=90°-45°=45度. ∵DM⊥y轴,OA⊥y轴, ∴DM∥OA, ∴∠MDE=∠DEA=90°, ∴∠MDP1=∠MDE-∠P1DE=90°-45°=45度. ∴P1M=DM=2,. 此时, 又因为∠AOC=∠P1DA=90°, ∴Rt△ADP1∽Rt△AOC, ∴OP1=OM-P1M=4-2=2, ∴P1(0,2). ∴当∠P1DA=90°时,存在点P1,使Rt△ADP1∽Rt△AOC, 此时P1点的坐标为(0,2) ②当∠P2AD=90°时,则∠P2AO=45°, ∴, ∴. ∵, ∴. ∴△P2AD与△AOC不相似,此时点P2不存在.(12分)(结论(1分),过程1分) ③当∠AP3D=90°时,以AD为直径作⊙O1,则⊙O1的半径, 圆心O1到y轴的距离d=4. ∵d>r, ∴⊙O1与y轴相离. 不存在点P3,使∠AP3D=90度. ∴综上所述,只存在一点P(0,2)使Rt△ADP与Rt△AOC相似.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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