Question

（2010•锦州）某商场购进一批单价为50元的商品，规定销售时单价不低于进价，每件的利润不超过40%．其中销售量y（件）与所售单价x（元）的关系可以近似的看作如图所表示的一次函数．
（1）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）设该公司获得的总利润（总利润=总销售额-总成本）为w元，求w与x之间的函数关系式，当销售单价为何值时，所获利润最大，最大利润是多少？

Answer

（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，利用图象经过点（60，400）和（70，300），利用待定系数法求解即可；
（2）用x表示总利润，得到W=-10x2+1500x-50000，根据二次函数最值的求法求当销售单价为70元时，所获得利润有最大值为6000元．
【解析】
（1）最高销售单价为50（1+40%）=70（元），（1分）
根据题意，设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），（1分）
∵函数图象经过点（60，400）和（70，300），
∴，（1分）
解得，
∴y与x之间的函数关系式为y=-10x+1000，
x的取值范围是50≤x≤70；（2分）

（2）根据题意，w=（x-50）（-10x+1000），（1分）
W=-10x2+1500x-50000，w=-10（x-75）2+6250，（1分）
∵a=-10，∴抛物线开口向下，
又∵对称轴是x=75，自变量x的取值范围是50≤x≤70，
∴w随x的增大而增大，（1分）
∴当x=70时，w最大值=-10（70-75）2+6250=6000（元），
∴当销售单价为70元时，所获得利润有最大值为6000元．（2分）