Question

（2009•江西）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB=4，BC=6，∠B=60度．
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x．
①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）可通过构建直角三角形然后运用勾股定理求解．
（2）①△PMN的形状不会变化，可通过做EG⊥BC于G，不难得出PM=EG，这样就能在三角形BEG中求出EG的值，也就求出了PM的值，如果做PH⊥MN于H，PH是三角形PMH和PHN的公共边，在直角三角形PHM中，有PM的值，∠PMN的度数也不难求出，那么就能求出MH和PH的值，也就求出HN和PN的值了，有了PN，PM，MN的值，就能求出三角形MPN的周长了．
②本题分两种情况进行讨论：
1、N在CD的DF段时，PM=PN．这种情况同①的计算方法．
2、N在CD的CF段时，又分两种情况进行讨论
MP=MN时，MC=MN=MP，这样有了MC的值，x也就能求出来了
NP=NM时，我们不难得出∠PMN=120°，又因为∠MNC=60°因此∠PNM+∠MNC=180度．这样点P与F就重合了，△PMC即这是个直角三角形，然后根据三角函数求出MC的值，然后就能求出x了．
综合上面的分析把△PMC是等腰三角形的情况找出来就行了．
【解析】
（1）如图1，过点E作EG⊥BC于点G．
∵E为AB的中点，
∴BE=AB=2
在Rt△EBG中，∠B=60°，∴∠BEG=30度．
∴BG=BE=1，EG=
即点E到BC的距离为

（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变．
∵PM⊥EF，EG⊥EF，
∴PM∥EG，又EF∥BC，
∴四边形EPMG为矩形，
∴EP=GM，PM=EG=
同理MN=AB=4．
如图2，过点P作PH⊥MN于H，
∵MN∥AB，
∴∠NMC=∠B=60°，又∠PMC=90°，
∴∠PMH=∠PMC-∠NMC=30°．
∴PH=PM=
∴MH=PM•cos30°=
则NH=MN-MH=4-
在Rt△PNH中，PN=
∴△PMN的周长=PM+PN+MN=

②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角形．
当PM=PN时，如图3，作PR⊥MN于R，则MR=NR．
类似①，PM=，∠PMR=30°，
MR=PMcos30°=×=，
∴MN=2MR=3．
∵△MNC是等边三角形，
∴MC=MN=3．
此时，x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2．
当MP=MN时，
∵EG=，
∴MP=MN=，
∵∠B=∠C=60°，
∴△MNC是等边三角形，
∴MC=MN=MP=（如图4），
此时，x=EP=GM=6-1-，
当NP=NM时，如图5，∠NPM=∠PMN=30度．
则∠PNM=120°，又∠MNC=60°，
∴∠PNM+∠MNC=180度．
因此点P与F重合，△PMC为直角三角形．
∴MC=PM•tan30°=1．
此时，x=EP=GM=6-1-1=4．
综上所述，当x=2或4或（5-）时，△PMN为等腰三角形．