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(2010•呼和浩特)如图,等边△ABC的边长为12cm,点D、E分别在边AB、...

(2010•呼和浩特)如图,等边△ABC的边长为12cm,点D、E分别在边AB、AC上,且AD=AE=4cm,若点F从点B开始以2cm/s的速度沿射线BC方向运动,设点F运动的时间为t秒,当t>0时,直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G,GE的延长线与BC的延长线相交于点H,AB与GH相交于点O.
(1)设△EGA的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式;
(2)在点F运动过程中,试猜想△GFH的面积是否改变?若不变,求其值;若改变,请说明理由;
(3)请直接写出t为何值时,点F和点C是线段BH的三等分点.

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(1)为了求出三角形的面积,我们要作高线.通过特殊角的三角函数求出此高,再利用三角形相似,用t表示出底.这样,这个三角形的面积就可用含t的代数式表示出来了. (2)首先由两步相似,即△AGD∽△BFD,△AGE∽△CHE,证得BF=CH,然后分三种情况: ①0<t<6时,②t=6时,③t>6时; 在上述三种情况中,通过线段间的等量代换,都可证得FH=BC,因此△FHG、△ABC的面积相等,由于△ABC的面积是定值,所以△FHG的面积不变. (3)分两种情况:①点F在线段BC上,②点F在BC的延长线上;可通过线段间的等量关系,求出BF的值,从而求得t的值. 【解析】 (1)作EM⊥GA,垂足为M. ∵△ABC是等边三角形, ∴∠ACB=60°. ∵GA∥BC, ∴∠MAE=60°. ∵AD=AE=4, ∴ME=AE•sin60°=2,BD=AB-AD=8, 又GA∥BH, ∴△AGD∽△BFD, ∴==, 又∵BF=2t, ∴AG=t. ∴S=t. (2)猜想:不变. ∵AG∥BC, ∴△AGD∽△BFD,△AGE∽△CHE, ∴=,=, ∴=, ∴=, ∴BF=CH. 情况①:0<t<6时, ∵BF=CH, ∴BF+CF=CH+CF, 即:FH=BC; 情况②:t=6时,有FH=BC; 情况③:t>6时, ∵BF=CH, ∴BF-CF=CH-CF, 即:FH=BC. ∴S△GFH=S△ABC=36. 综上所述,当点F在运动过程中,△GFH的面积为36cm2. (3)∵BC=FH,∴BF=CH. ①当点F在线段BC边上时,若点F和点C是线段BH的三等分点,则BF=FC=CH. ∵BC=12,∴BF=FC=6, 又∵点F的运动速度为2cm/s, ∴t=3. ∴当t=3时,点F和点C是线段BH的三等分点; ②当点F在BC的延长线上时,若点F和点C是BH的三等分点,则BC=CF=FH. ∵BC=12,∴CF=12,∴BF=24, 又∵点F的运动速度为2cm/s, ∴t=12. ∴当t=12时,点F和点C是线段BH的三等分点; 综上可知:当t=3s或12s时,点F和点C是线段BH的三等分点.
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考点分析:
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表一:
 人数/人平均分/分
甲组10094
乙组8090
表二
分数段频数等级
0≤x<603C
60≤x<726
72≤x<8436B
84≤x<96 
96≤x<10850A
108≤x<12013
请根据表一、表二所示的信息回答下列问题:
(1)样本中,学生的数学成绩的平均分数约为______分(结果精确到0.1分);
(2)样本中,数学成绩在(84,96)分数段的频数______,等级为A的人数占抽样学生总数的百分比为______,中位数所在的分数段为______
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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