Question

（1）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC=BD，BC，AD相交于点E．求证：AE=BE；

（2）已知：如图，⊙O₁与坐标轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，点O₁的纵坐标为．求⊙O₁的半径．

Answer

（1）根据已知条件，可以判定Rt△ACE≌Rt△BDE，根据全等三角形的性质，AE=BE．
（2）已知A、B两点的坐标，可知弦AB的长等于4，点O1的纵坐标为弦的弦心距的长，根据勾股定理和垂径定理可以求出⊙O1的半径．
（1）证明：在Rt△ACE和Rt△BDE中，
∵∠AEC与∠BED是对顶角，
∴∠AEC=∠BED，
在△RTACE≌Rt△BDE中，
∴Rt△ACE≌Rt△BDE，
∴AE=BE．

（2）【解析】
过点O1作O1C⊥AB，垂足为C，
则有AC=BC，
由A（1，0）、B（5，0），得AB=4，
∴AC=2，
在Rt△AO1C中，
∵O1的纵坐标为，
∴O1C=．
∴⊙O1的半径O1A==3．