Question

（2010•历下区一模）（1）如图，已知AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE；

（2）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH=2，AB=12，BO=13
求：①⊙O的半径；②AC的值．

Answer

（1）首先由AD=AE，可证得∠ADE=∠AED，那么它们的补角也相等，即∠ADB=∠AEC，同理可得∠B=∠C，结合已知的相等线段即可证得△ABD≌△ACE，由此得解．
（2）①根据切线的性质可得△AOB是直角三角形，由勾股定理可求得OA的长，即⊙O的半径；
②在Rt△OAH中，由勾股定理可得AH的值，进而由垂径定理求得AC的长．
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角）；（1分）
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴180°-∠ADE=180°-∠AED，
即∠ADB=∠AEC；（2分）
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS）；
∴BD=CE．（3分）

（2）【解析】
①∵AB是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥AB，（1分）
在Rt△AOB中，
AO===5，（2分）
∴⊙O的半径为5；
②∵OH⊥AC，
∴在Rt△AOH中，
AH===，（3分）
又∵OH⊥AC，
∴AC=2AH=2．（4分）