Question

（2010•济南）已知：△ABC是任意三角形．

（1）如图1所示，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点，求证：∠MPN=∠A．
（2）如图2所示，点M、N分别在边AB、AC上，且，，点P₁、P₂是边BC的三等分点，你认为∠MP₁N+∠MP₂N=∠A是否正确？请说明你的理由．
（3）如图3所示，点M、N分别在边AB、AC上，且，，点P₁、P₂、…、P₂₀₀₉是边BC的2010等分点，则∠MP₁N+∠MP₂N+…+∠MP₂₀₀₉N=______．
（请直接将该小问的答案写在横线上）

Answer

（1）由三角形的中位线定理可得到四边形AMPN是平行四边形，故有∠MPN=∠A；
（2）由平行线分线段成比例，可得到四边形MBP1N、MP1P2N、MP2CN都是平行四边形，有∠MP1N=∠1，∠MP2N=∠2，∠BMP2=∠A，故∠MP1N+∠MP2N=∠1+∠2=∠BMP2=∠A．
（3）类似地，可得到∠MP1N+∠MP2N+…+∠MP2009N=∠A．
（1）证明：∵点M、P、N分别是AB、BC、CA的中点，
∴线段MP、PN是△ABC的中位线，
∴MP∥AN，PN∥AM，（1分）
∴四边形AMPN是平行四边形，（2分）
∴∠MPN=∠A．（3分）

（2）【解析】
∠MP1N+∠MP2N=∠A正确．（4分）
如图所示，连接MN，（5分）
∵，∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴∠AMN=∠B，，
∴MN∥BC，MN=BC，（6分）
∵点P1、P2是边BC的三等分点，
∴MN与BP1平行且相等，MN与P1P2平行且相等，MN与P2C平行且相等，
∴四边形MBP1N、MP1P2N、MP2CN都是平行四边形，
∴MB∥NP1，MP1∥NP2，MP2∥AC，
（7分）
∴∠MP1N=∠1，∠MP2N=∠2，∠BMP2=∠A，
∴∠MP1N+∠MP2N=∠1+∠2=∠BMP2=∠A．

（3）【解析】
∠A．
理由：连接MN，
∵，∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴∠AMN=∠B，，
∴MN∥BC，MN=BC，
∵P1、P2、…、P2009是边BC的2010等分点，
∴MN与BP1平行且相等，MN与P1P2平行且相等，…，MN与P2009C平行且相等，
∴四边形MBP1N、MP1P2N、…、MP2009CN都是平行四边形，
∴MB∥NP1，MP1∥NP2，…，MP2009∥AC，
∴∠MP1N=∠BMP1，∠MP2N=∠P1MP2，…，∠BMP2009=∠A，
∴∠MP1N+∠MP2N=∠BMP1+∠P1MP2+…+∠P2008MP2009=∠BMP2009=∠A．