Question

如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AC，AB上，EF∥BC，将△AEF向上翻折，得到△A′EF，再展开．
（1）求证：四边形AEA′F是菱形；
（2）直接写出当等腰△ABC满足什么条件时，四边形AEA′F将变成正方形？
（3）当点A′恰好落在BC上时，直接写出EF与BC的数量关系．

Answer

（1）由题意易得△AEF为等腰三角形，AE=EA′，AF=FA′，所以四边形AEA′F是菱形；
（2）因为有一角为直角的菱形是正方形，故当等腰△ABC的顶角为90°时，四边形AEA′F是正方形；
（3）当点A′恰好落在BC上时，高为一半，则EF是中位线，所以EF=BC．
【解析】
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠C，∠B=∠AFE．
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF．
∵AE=EA′，AF=FA′，（3分）
∴A′E=AE=AF=A′F，
∴四边形AEA′F是菱形．（5分）

（2）当等腰△ABC的顶角为90°时，四边形AEA′F是正方形．（7分）

（3）EF=BC．（9分）