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(2012•庆阳)如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,-1)的抛物线交y轴于A...

(2012•庆阳)如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,-1)的抛物线交y轴于A点,交x轴于B,C两点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,3).
(1)求此抛物线的解析式
(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系,并给出证明;
(3)已知点P是抛物线上的一个动点,且位于A,C两点之间,问:当点P运动到什么位置时,△PAC的面积最大?并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积.

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(1)已知抛物线的顶点坐标,可用顶点式设抛物线的解析式,然后将A点坐标代入其中,即可求出此二次函数的解析式; (2)根据抛物线的解析式,易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标,分别求出直线AB、BD、CE的解析式,再求出CE的长,与到抛物线的对称轴的距离相比较即可; (3)过P作y轴的平行线,交AC于Q;易求得直线AC的解析式,可设出P点的坐标,进而可表示出P、Q的纵坐标,也就得出了PQ的长;然后根据三角形面积的计算方法,可得出关于△PAC的面积与P点横坐标的函数关系式,根据所得函数的性质即可求出△PAC的最大面积及对应的P点坐标. 【解析】 (1)设抛物线为y=a(x-4)2-1, ∵抛物线经过点A(0,3), ∴3=a(0-4)2-1,; ∴抛物线为;(3分) (2)相交. 证明:连接CE,则CE⊥BD, 当时,x1=2,x2=6. A(0,3),B(2,0),C(6,0), 对称轴x=4, ∴OB=2,AB==,BC=4, ∵AB⊥BD, ∴∠OAB+∠OBA=90°,∠OBA+∠EBC=90°, ∴△AOB∽△BEC, ∴=,即=,解得CE=, ∵>2, ∴抛物线的对称轴l与⊙C相交.(7分) (3)如图,过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q; 可求出AC的解析式为;(8分) 设P点的坐标为(m,), 则Q点的坐标为(m,); ∴PQ=-m+3-(m2-2m+3)=-m2+m. ∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=×(-m2+m)×6 =-(m-3)2+; ∴当m=3时,△PAC的面积最大为; 此时,P点的坐标为(3,).(10分)
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考点分析:
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经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:过E作直线平行于BC交DC,AB分别于F,G,如图2,则可得:manfen5.com 满分网,因为DE=EP,所以DF=FC.可求出EF和EG的值,进而可求得EM与EN的比值.
(1)请按照小明的思路写出求解过程.
(2)小东又对此题作了进一步探究,得出了DP=MN的结论,你认为小东的这个结论正确吗?如果正确,请给予证明;如果不正确,请说明理由.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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