Question

（2010•日照）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A．15
B．25
C．55
D．1225

Answer

图1中求出1、3、6、10，…，第n个图中点的个数是1+2+3+…+n，即；图2中1、4、9、16，…，第n个图中点的个数是n2．然后把下列数分别代入，若解出的n是正整数，则说明符合条件就是所求．
【解析】
根据题意得：三角形数的第n个图中点的个数为；
正方形数第n个图中点的个数为n2，
A、令=15，解得n1=5，n2=-6（不合题意，舍去）；再令n2=15，n=±（不合题意，都舍去）；不符合条件，错误；
B、令=25，解得n1=（都不合题意，舍去）；再令n2=25，n=±5；不符合条件，错误；
C、显然55不是平方数，不符合条件，错误；
D、令=1225，解得n1=49，n2=-50（不合题意，舍去）；再令n2=1225，n1=35，n2=-35（不合题意，舍去），符合条件，正确．
故选D．