Question

（2010•日照）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：
（1）D是BC的中点；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）BC²=2AB•CE．

Answer

（1）要证D是BC的中点，已知AB=AC，即证AD⊥BC即可，根据圆周角定理，AB是直径，所以∠ADB=90°，即可得证．
（2）欲证△BEC∽△ADC，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠AEB=∠ADC=90°，此时，再求另一角对应相等即可．
（3）由△BEC∽△ADC可证CD•BC=AC•CE，又D是BC的中点，AB=AC，即可证BC2=2AB•CE．
证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD是底边BC上的高，（1分）
又∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴D是BC的中点；（3分）

（2）∵∠CBE与∠CAD是所对的圆周角，
∴∠CBE=∠CAD，（5分）
又∵∠BCE=∠ACD，
∴△BEC∽△ADC；（6分）

（3）由△BEC∽△ADC，知=，
即CD•BC=AC•CE，（8分）
∵D是BC的中点，
∴CD=BC，
又∵AB=AC，
∴CD•BC=AC•CE=BC•BC=AB•CE，
即BC2=2AB•CE．（10分）