Question

（2008•黄石）若实数a，b满足a+b²=1，则2a²+7b²的最小值是    ．

Answer

根据a+b2=1求出a的取值范围，再把代数式变形，然后结合结合函数的性质及b的取值范围求得结果．
【解析】
∵a+b2=1，
∴a=1-b2
∴2a2+7b2=2（1-b2）2+7b2=2b4+3b2+2=2（b2+）2+2-=2（b2+）2+，
∵b2≥0，
∴2（b2+）2+＞0，
∴当b2=0，即b=0时，2a2+7b2的值最小．
∴最小值是2．
方法二：∵a+b2=1，
∴b2=1-a，
∴2a2+7b2=2a2+7（1-a）=2a2-7a+7=2（a-）2+，
∵b2≥0，
∴1-a≥0，
∴a≤1，
∴当a=1，即b=0时，2a2+7b2的值最小．
∴最小值是2．