Question

（2008•黄石）某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：

	A型利润	B型利润
甲店	200	170
乙店	160	150

（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来；
（3）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A，B型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？

Answer

（1）首先设甲店B型产品有（70-x），乙店A型有（40-x）件，B型有（x-10）件，列出不等式方程组求解即可；
（2）由（1）可得几种不同的分配方案；
（3）依题意得出W与a的关系式，解出不等式方程后可得出使利润达到最大的分配方案．
【解析】
依题意，甲店B型产品有（70-x）件，乙店A型有（40-x）件，B型有（x-10）件，则
（1）W=200x+170（70-x）+160（40-x）+150（x-10）=20x+16800．
由解得10≤x≤40．（2分）

（2）由W=20x+16800≥17560，
∴x≥38．
∴38≤x≤40，x=38，39，40．
∴有三种不同的分配方案．
①x=38时，甲店A型38件，B型32件，乙店A型2件，B型28件；
②x=39时，甲店A型39件，B型31件，乙店A型1件，B型29件；
③x=40时，甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件．

（3）依题意：W=（200-a）x+170（70-x）+160（40-x）+150（x-10）=（20-a）x+16800．
①当0＜a＜20时，x=40，即甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件，能使总利润达到最大；
②当a=20时，10≤x≤40，符合题意的各种方案，使总利润都一样；
③当20＜a＜30时，x=10，即甲店A型10件，B型60件，乙店A型30件，B型0件，能使总利润达到最大．（8分）