Question

（2008•成都）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E，F分别是AB和BC边上的点．
（1）如图①，以EF为对称轴翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，且DF⊥BC．若AD=4，BC=8，求梯形ABCD的面积S_梯形ABCD的值；
（2）如图②，连接EF并延长与DC的延长线交于点G，如果FG=k•EF（k为正数），试猜想BE与CG有何数量关系写出你的结论并证明之．

Answer

（1）由折叠的性质知，BF=DF，过点A作AG⊥BC于点G．则四边形AGFD是矩形，然后根据相似三角形的特点，利用面积公式求出．
（2）如图，过点E作EH∥CG，交BC于点H．则∠FEH=∠FGC，可得△EFH∽△GFC．根据相似三角形和梯形的性质解决．
【解析】
（1）由题意，有△BEF≌△DEF．
∴BF=DF
如图，过点A作AG⊥BC于点G．则四边形AGFD是矩形．
∴AG=DF，GF=AD=4．
在Rt△ABG和Rt△DCF中，
∵AB=DC，AG=DF，
∴Rt△ABG≌Rt△DCF．（HL）
∴BG=CF
∴BG=（BC-GF）=（8-4）=2．
∴DF=BF=BG+GF=2+4=6
∴S梯形ABCD=（AD+BC）•DF=×（4+8）×6=36

（2）猜想：CG=k•BE（或BE=CG）
证明：如图，过点E作EH∥CG，交BC于点H．
则∠FEH=∠FGC．
又∠EFH=∠GFC，
∴△EFH∽△GFC．
∴，
而FG=k•EF，即．
∴即CG=k•EH
∵EH∥CG，∴∠EHB=∠DCB．
而四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B=∠DCB．
∴∠B=∠EHB．∴BE=EH．
∴CG=k•BE．