Question

（2010•淄博）已知关于x的方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；
（3）若以方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．

Answer

（1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
（2）将x=1代入方程，得到关于k的方程，求出即可，
（3）写出两根之积，两根之积等于m，进而求出m的最小值．
【解析】
（1）由题意得△=[-2（k-3）]2-4×（k2-4k-1）≥0
化简得-2k+10≥0，解得k≤5．
（2）将1代入方程，整理得k2-6k+6=0，解这个方程得，．
（3）设方程x2-2（k-3）x+k2-4k-1=0的两个根为x1，x2，
根据题意得m=x1x2．又由一元二次方程根与系数的关系得x1x2=k2-4k-1，
那么m=k2-4k-1=（k-2）2-5，所以，当k=2时m取得最小值-5．