Question

（2008•上海模拟）正方形ABCD的边长为2，E是射线CD上的动点（不与点D重合），直线AE交直线BC于点G，∠BAE的平分线交射线BC于点O．
（1）如图，当CE=时，求线段BG的长；
（2）当点O在线段BC上时，设，BO=y，求y关于x的函数解析式；
（3）当CE=2ED时，求线段BO的长．

Answer

（1）根据AD∥BC，我们可以得出关于AD、DE、CE、CG的比例关系式，已知了CD、AD、CD的值，那么就能求出DE的值，也就能求出CG的长了，有了CG的长，已知了BC的长，那么就有了BG的长．
（2）根据CE、DE的比例关系和CD的长，我们不难表示出CE的长，按（1）的方法我们可以得出CG的表达式，有了CG的长，那么就能表示出BG的长，在直角三角形ABG中，就能表示出AG的长，如果我们过点O作OF⊥AG，垂足为点F，构建一个和三角形ABG相似的三角形OFG（有一个公共角，有一组直角），我们可得出关于AB、AG、OF、OG的比例关系式．根据角平分线上的点到角两边的距离相等，我们可得出OF=OB=y，OG=BG-BO也不难表示出来，因此根据关于AB、AG、OF、OG的比例关系式可得出一个含x、y的函数关系式．
（3）分两种情况，第一，O在线段BC上，这种情况同（2）可根据（2）的结果来得出OB的值．
第二种情况，O在BC的延长线上，由AB∥DC我们可得出∠BAH=∠HAE=∠AHE，因此EH=AH，那么就有了EH的值，也就求出了CH的值，由AB∥DC，我们可得到一个关于AB、CH、CO、BO的比例关系式，因为CO=BO-2，又求出了CH的值，已知了AB的值，因此可求出BO．
【解析】
（1）在边长为2的正方形ABCD中，CE=，得DE=CD-CE=2-=，
又∵AD∥BC，即AD∥CG，
∴，
得CG=1．
∵BC=2，
∴BG=3；

（2）当点O在线段BC上时，过点O作OF⊥AG，垂足为点F．
∵AO为∠BAE的角平分线，∠ABO=90°，
∴OF=BO=y．
在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴．
∵AD=2，
∴CG=2x．
又∵，CE+ED=2，
∴得CE=．
∵在Rt△ABG中，AB=2，BG=2+2x，∠B=90°，
∴AG=2．
∵AF=AB=2，
∴FG=AG-AF=2．
∵，
即，
得．（x≥0）；

（3）当CE=2ED时，

①当点O在线段BC上时如图（1），即x=2，由（2）得；
②当点O在线段BC延长线上时，如图（2），CE=2DE=4，ED=2，在Rt△ADE中，AE=2．
设AO交线段DC于点H，
∵AO是∠BAE的平分线，
∴∠BAH=∠HAE，
又∵AB∥CD，
∴∠BAH=∠AHE．
∴∠HAE=∠AHE．
∴EH=AE=2．
∴CH=4-2，
∵AB∥CD，
∴，
∴，得BO=2+2．