Question

（2009•青浦区二模）如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC边上一点，且AD⊥AB，点E是线段BD的中点，连接AE．
（1）求证：BD=2AC；
（2）若AC²=DC•BC，求证：△AEC是等腰直角三角形．

Answer

（1）由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半知，AE=BE=BD，故∠B=∠BAE，由三角形的外角与内角的关系知，AEC=2∠B，又由已知条件，∠C=2∠B，所以∠C=∠AEC而求得AE=AC=BD；
（2）由AC2=DC•BC可得△ACD∽△BCA，所以∠CAD=∠B=∠BAE，再由等量加等量还是等量知，∠CAD+∠EAD=90°即∠EAC=90°．
（1）证明：由AD⊥AB得∠BAD=90°，（1分）
∵点E是BD的中点，
∴AE=BD=BE，
即BD=2AE，
∵AE=BE，∴∠B=∠BAE，（2分）
∵∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠AEC=2∠B，
又∵∠C=2∠B，∴∠AEC=∠C，
∴AE=AC，（2分）
∵BD=2AE，
∴BD=2AC；（1分）

（2）∵AC2=DC•BC，
∴，（1分）
又∵∠ACD=∠BCA，∴△ACD∽△BCA．（1分）
∴∠CAD=∠B，∴∠CAD=∠BAE，（2分）
∵∠BAE+∠EAD=90°，
∴∠CAD+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，
又∵AE=AC，
∴△AEC是等腰直角三角形．（2分）