Question

（2009•徐汇区二模）如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与y轴正半轴交于点C，与x轴交于点A（2，0）、B（8，0），∠OCA=∠OBC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标；
（3）若存在一点P到点A、B、C三点的距离相等，求点P的坐标．

Answer

（1）本题的关键是求出C点的坐标，根据∠OCA=∠OBC易证得三角形OAC与三角形OCB相似，可得出OC2=OA•OB，由此可求得OC的长，即可得出C点的坐标，然后将A、B、C三点坐标代入抛物线中即可求出该二次函数的解析式．
（2）分三种情况，如图：
（3）根据题意可知：点P实际是三角形ABC的内心，因此P必在AB的垂直平分线上，据此可求出P点的横坐标，然后设出其纵坐标，根据坐标系两点间的距离公式，表示出PC和PA的长，已知了PC=PA，据此可求出P点的坐标．
【解析】
（1）∵∠AOC=∠COB，∠OCA=∠OBC
∴△AOC∽△COB
∴OC2=AO•BO=2×8=16
∴OC=4
∴C（0，4）
由题意，设抛物线解析式y=a（x-2）（x-8）
∴a（0-2）（0-8）=4
∴a=
∴y=x2-x+4

（2）M1（6，4）或M2（-6，4）或M3（10，-4）

（3）∵点P到点A、B、C三点的距离相等，
∴点P为线段AB、AC中垂线的交点．
由已知易求出线段AB中垂线的直线方程是：x=5．
设P（5，y），
∵点P在线段AC的中垂线上，
∴PC=PA
∴（5-0）2+（y-4）2=（5-2）2+y2
解得y=4
∴P（5，4）．