Question

（2010•奉贤区二模）已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，过点A作直线MN⊥AC，点E是直线MN上的一个动点，
（1）如图1，如果点E是射线AM上的一个动点（不与点A重合），连接CE交AB于点P．若AE为x，AP为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）在射线AM上是否存在一点E，使以点E、A、P组成的三角形与△ABC相似，若存在求AE的长，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，过点B作BD⊥MN，垂足为D，以点C为圆心，若以AC为半径的⊙C与以ED为半径的⊙E相切，求⊙E的半径．

Answer

（1）首先证明AM∥BC，△BCP∽△APE，可得AE：BC=AP：BP，然后根据题意代入相关数值即得y关于x的函数解析式．
（2）先假设存在点E，使△ABC∽△EAP，则有AB：BC=AE：AP，把第一问的结果代入可得到一个一元二次方程，解此方程看结果是否符合题意，合题意，则存在此点，否则不存在此点．
（3）此问要分情况讨论：当点E在射线AD上，⊙C与⊙E外切时；当点E在线段AD上，⊙C与⊙E外切时；当点E在射线DA上，⊙C与⊙E内切时；根据解直角三角形分别求解，不符合题意的解舍去．
【解析】
（1）∵AM⊥AC，∠ACB=90°∴AM∥BC，
∴=，（1分）
∵BC=6，AC=8，∴AB=10，（2分）
∵AE=x，AP=y，∴=，
∴y=（x＞0）；（4分）

（2）假设在射线AM上存在一点E，使以点E、A、P组成的三角形与△ABC相似；
∵AM∥BC∴∠B=∠BAE，
∵∠ACB=90°，∠AEP≠90°，
∴△ABC∽△EAP，（6分）
∴=（7分）
∴=解得：x1=，x2=0（舍去）（8分）
∴当AE的长为时，△ABC∽△EAP；

（3）∵⊙C与⊙E相切，AE=x
①当点E在射线AD上，⊙C与⊙E外切时，ED=x-6，EC=x-6+8=x+2，
在直角三角形AEC中，AC2+AE2=EC2
∴x2+82=（x+2）2解得：x=15∴⊙E的半径为9．（10分）
②当点E在线段AD上，⊙C与⊙E外切时，ED=6-x，EC=6-x+8=14-x，
在直角三角形AEC中，AC2+AE2=EC2，
∴x2+82=（14-x）2解得：x=∴⊙E的半径为．（12分）
③当点E在射线DA上，⊙C与⊙E内切时，ED=x+6，EC=x+6-8=x-2，
在直角三角形AEC中，AC2+AE2=EC2
∴x2+82=（x-2）2解得：x=-15（舍去），
∴内切不成立（14分）
∴当⊙C与⊙E相切时，⊙E的半径为9或．