Question

（2010•黄浦区二模）已知点P是函数（x＞0）图象上一点，PA⊥x轴于点A，交函数（x＞0）图象于点M，PB⊥y轴于点B，交函数（x＞0）图象于点N．（点M、N不重合）
（1）当点P的横坐标为2时，求△PMN的面积；
（2）证明：MN∥AB；
（3）试问：△OMN能否为直角三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer

（1）利用题中已知条件求出M和N的坐标，然后求出△PMN的面积；
（2）利用相似三角形，通过证明PM，PB和PN，PA相对成比例可证明△PAB∽△PMN．
（3）连接三个点，分别取三个点为顶点，求出不同情况下是否满足题目要求．
【解析】
（1）∵点P是函数（x＞0）图象上一个点，当点P的横坐标为2，
∴点P为（2，1），（1分）
由题意可得：M为（2，），N为（1，1）（2分）
∴；（1分）

（2）令点P为（2a，a），（a＞0）（1分）
则，
∴，（1分）
即（1分）
∴MN∥AB；（1分）

（3）由（2）得，，
易知∠MON≠90°，
∴当∠ONM=90°时，
有，
解得（舍去），即点P为，（2分）
同理当∠OMN=90°时，点P为．（2分）
综上所述，当点P为与时，能使△OMN为直角三角形．