Question

（2011•海门市一模）如图，一把“T型”尺（图1），其中MN⊥OP，将这把“T型”尺放置于矩形ABCD中（其中AB=4，AD=5），使边OP始终经过点A，且保持OA=AB，“T型”尺在绕点A转动的过程中，直线MN交边BC、CD于E、F两点．（图2）
（1）试问线段BE与OE的长度关系如何？并说明理由；
（2）当△CEF是等腰直角三角形时，求线段BE的长；
（3）设BE=x，CF=y，试求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域．

Answer

（1）线段BE与OE的长度相等，如图，连接AE，在△ABE与△AOE中，已知条件可以证明它们全等，然后利用全等三角形的性质即可得到结论；
（2）延长AO交BC于点T，由于△CEF是等腰直角三角形，由此可以得到△OET与△ABT均为等腰直角三角形，而在△ABT中，AB=4，利用勾股定理即可求出AT，然后可以求出线段BE的长；
（3）在BC上取点H，使BH=BA=4，过点H作AB的平行线，交EF、AD于点K、L，如图，根据已知条件可以证明四边形ABHL为正方形，然后得到KL=KO，令HK=a，则在△HEK中，EH=4-a，EK=x+4-a，利用勾股定理可以求出用x表示的a的值，又HL∥AB，根据平行线的性质可以求出函数关系式；要求BE的最大值，则当点F和点D重合，根据勾股定理求得OF=3，设BE=OE=x，在直角三角形CEF中，根据勾股定理列方程即可求解．
【解析】
（1）线段BE与OE的长度相等
如图，连接AE，在△ABE与△AOE中，
∵OA=AB，AE=AE，∠ABE=∠AOE=90°，
∴△ABE≌△AOE，
∴BE=OE；

（2）延长AO交BC于点T，
∵∠OEC=∠OEC，∠EOT=∠C=90°，
∴△OET∽△CEF，
同理，∵∠ATB=∠ATB，∠EOT=∠ABT=90°，
∴△OET∽△BAT，
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴△OET与△ABT均为等腰直角三角形，
于是在△ABT中，AB=4，则AT===，
∴BE=OE=OT=；

（3）在BC上取点H，使BH=BA=4，过点H作AB的平行线，
交EF、AD于点K、L，（如图）
∴四边形ABHL为正方形
由（1）可知KL=KO，
令HK=a，则在△HEK中，EH=4-x，EK=x+4-a
∴（4-x）2+a2=（x+4-a）2，
化简得：，
又HL∥AB，
∴，即，
∴函数关系式为，
BE的最小值应大于0，最大值即当点F和点D重合，根据勾股定理求得OF=3．
设BE=OE=x，在直角三角形CEF中，根据勾股定理，得
（3+x）2=（5-x）2+16，
解得x=2．
所以定义域，即x的取值范围为0＜x≤2．