Question

（2010•静安区二模）如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）如果一次函数图象与y相交于点C，点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE与二次函数图象相交于点E，∠CDO=∠OED，求点D的坐标．

Answer

（1）由于抛物线的顶点为原点，可设其解析式为：y=ax2，然后将A点坐标代入上式，即可确定该抛物线的解析式；已知了A、B的坐标，可利用待定系数法求得直线AB的解析式；
（2）设出点D的横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式，可得到D、E的纵坐标，进而可求得DE和OD2的表达式，由于DE∥y轴，且∠CDO=∠DEO，易证得△COD∽△ODE，得OD2=DE•OC，OC的长易求得，将DE、OD2的表达式代入上式，即可求得点D的坐标．
【解析】
（1）设二次函数解析式为y=ax2，
∵点A（3，3）在二次函数图象上，
∴3=9a，（1分）
∴a=，
∴二次函数解析式为y=，（2分）
设一次函数解析式为y=kx+b，
∵一次函数的图象经过点A和点B（6，0），
∴，（3分）
∴；（4分）
∴一次函数解析式为y=-x+6；（5分）

（2）∵DE∥y轴，
∴∠COD=∠ODE，
∵∠CDO=∠OED，
∴△CDO∽△OED，（6分）
∴=，
∴DO2=DE•CO；（7分）
设点D的坐标为（m，-m+6），
∴点E的坐标为（m，），（8分）
∴OD2=m2+（m-6）2=2m2-12m+36，DE=-m+6-；（9分）
∵点C（0，6），
∴CO=6；
∴2m2-12m+36=6（-m+6-），（10分）
∴4m2-6m=0，
∴m1=0（不符题意，舍去），m2=，（11分）
∴点D的坐标为（，）．（12分）