Question

（2010•长宁区一模）已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．
求证：（1）△ABE∽△DCA；
（2）BC²=2BE•CD．

Answer

（1）易知∠B=∠C，只需再证明一对角相等即可．根据外角易证∠BAE=∠ADC．问题得证；
（2）根据勾股定理，BC2=2AB2，所以需证AB2=BE•CD．根据（1）易证．
证明：（1）在Rt△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．                                （1分）
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠DAE=45°，
∴∠BAE=∠BAD+45°．                                     （1分）
而∠ADC=∠BAD+∠B=∠BAD+45°，（1分）
∴∠BAE=∠CDA．                                           （1分）
∴△ABE∽△DCA．                                          （2分）

（2）由△ABE∽△DCA，得．                       （2分）
∴BE•CD=AB•AC．                                           （1分）
而AB=AC，BC2=AB2+AC2，
∴BC2=2AB2．                                               （2分）
∴BC2=2BE•CD．                                            （1分）