Question

（2010•长宁区一模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=AB，P是边AC上的一个点，AP=PD，∠APD=∠ABC，连接DC并延长交边AB的延长线于点E．
（1）求证：AD∥BC；
（2）设AP=x，BE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）连接BP，当△CDP与△CBE相似时，试判断BP与DE的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）利用相似比相等证明△DAP∽△ABC，求得∠DAP=∠ACB，然后利用内错角相等，两直线平行，推出结论．
（2）设AP=x，则AD=2x．由已知，AB=4，得出BC=2．利用AD∥BC，从而得出，整理，得y关于x的函数解析式为．
（3）由图形得知，当△CDP与△CBE相似时，∠PCD=∠BCE，推出，即，求得x、y的值，从而得出BP∥DE．
【解析】

（1）证明：∵，，∴．
（1分）
又∵∠APD=∠ABC，∴△APD∽△ABC．（1分）
∴∠DAP=∠ACB，（1分）
∴AD∥BC．（1分）

（2）【解析】
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∴∠DAP=∠DPA，
∴AD=PD．（1分）
∵AP=x，∴AD=2x．（1分）
∵，AB=4，∴BC=2．
∵AD∥BC，∴，即．（1分）
整理，得y关于x的函数解析式为．（1分）
定义域为1＜x≤4．（1分）

（3）【解析】
平行．（1分）
证明：∵∠CPD=∠CBE，∠PCD＞∠E，
∴当△CDP与△CBE相似时，∠PCD=∠BCE．（1分）
∴，即．（1分）
把代入，整理得x2=4．
∴x=2，x=-2（舍去）．（1分）
∴y=4，
∴AP=CP，AB=BE，（1分）
∴BP∥CE，即BP∥DE．