Question

（2010•普陀区一模）设等边n边形的边长为a，面积为S，
（1）试探究等边三角形内部任一点P到三边的距离（d₁+d₂+d₃）是否为定值？如果不是，请说明理由；如果是，请证明；
（2）请进一步探究等边四边形、等边五边形、…、等边n边形内任意一点到各边的距离之和是否为定值？对此，你能获得什么规律？

Answer

（1）将大正三角形化为小三角形，根据三角形面积公式解答；
（2）将正多边形化为小三角形，根据三角形面积公式解答．
【解析】
（1）是定值．（1分）
证明：如图，△ABC是等边三角形，点P是等边三角形内部任一点．
S△APB=a•PE，S△CPB=a•PF，S△APC=a•PG，
于是S△APB+S△CPB+S△APC=a•PE+a•PF+a•PG，
即a•PE+a•PF+a•PG=S，
PE+PF+PG=，为定值．
即d1+d2+d3=，为定值．

（2）同（1）中证法，等边四边形、等边五边形、…、等边n边形内任意一点到各边的距离之和均为定值，规律为d1+d2+d3+…+dn=．